[추천시스템] 기초 선형 수학

📌목차

[행렬 연산 예시]

1. 내적과 Element-wise 연산

2. 전치 행렬

3. 역행렬

4. 대각행렬

5. 고유값과 고유 벡터

6. 랭크

7. SVD

 

[유사도 메트릭]

1. 코사인 유사도와 유클리드 거리 비교

 

📌행렬 연산 예시

1. 내적과  Element-wise 연산

- 내적(dot product) : 두 벡터의 각 자리 원소의 곱 → 모두 더한 값

- 원소별 연산(Element-wise) : 두 행렬 or 벡터의 각 원소끼리 곱하는 것

 

- 내적(np.dot())

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([4,5,6])

# 내적 과정
print("\n", a[0]*b[0], "+", a[1]*b[1], "+", a[2]*b[2])
print("Dot product of a and b:", np.dot(a,b))

# 내적
print(np.dot(a,b))

# 출력 값
#  4 + 10 + 18
# Dot product of a and b: 32
# 32

 

- 원소별 연산(a*b)

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

print( a * b)  # 그냥 곱하기만 함

# 출력값
#[ 4 10 18]

 

- 행렬 곱셈 (np.matmul)

import numpy as np

# Define two 2x2 matrices
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

# Calculate the result matrix by matrix multiplication
C = np.matmul(A, B) # 행렬 곱셈

# Show the calculation of each element in the result matrix
print("Matrix A:")
print(A)

print("\nMatrix B:")
print(B)

print("\nC[0, 0] = A[0, 0] * B[0, 0] + A[0, 1] * B[1, 0] = (1 * 5) + (2 * 7) =", 1*5 + 2*7)
print("C[0, 1] = A[0, 0] * B[0, 1] + A[0, 1] * B[1, 1] = (1 * 6) + (2 * 8) =", 1*6 + 2*8)
print("C[1, 0] = A[1, 0] * B[0, 0] + A[1, 1] * B[1, 0] = (3 * 5) + (4 * 7) =", 3*5 + 4*7)
print("C[1, 1] = A[1, 0] * B[0, 1] + A[1, 1] * B[1, 1] = (3 * 6) + (4 * 8) =", 3*6 + 4*8)

print("\nResult Matrix C:")
print(C)

 

2. 전치 행렬

- 행렬 전치(transpose) : 행과 열을 바꿈. 

• 추천 알고리즘 사용 예) MF, ALS

a = np.array([[1,2,3],
              [4,5,6]])
a_transpose = np.transpose(a)
print('원래 a 행렬\n', a)
print('\n전치 후 a 행렬\n', a_transpose)
print('\n전치 후 a 행렬\n', a.T)

 

 

3. 역행렬

- 역행렬(linalg.inv)

- 원 행렬 * 역행렬 = 단위행렬

- 사용되는 곳 : 연립 방정식의 해 구할 때, SVD 계산 시 사용

A = np.array([[2, 3],
              [4, 5]])

A_inverse = np.linalg.inv(A)
print('역행렬\n', A_inverse)
print('\nA * A역행렬\n', np.matmul(A,A_inverse))

 

 

4. 대각행렬

- 대각행렬(diag) : 대각선 외의 모든 요소가 0

- 계산 단순화 하는데 이용

A = np.diag([1,1,1])
print('대각행렬\n', A)

 

5. 고유값과 고유 벡터

 

 

6. 랭크

- 랭크(linalg.matrix_rank) : 행렬에서 독립적인 열 or 행 벡터의 최대 개수

- 열 or 행 벡터에 사칙연산 해도 해당 값이 나오지 않을 때, 최대의 개수

[기초 선형대수] 행렬에서 Rank (랭크) 란?

A = np.array([[9,8,7],
             [6,5,4],
             [3,2,1]])

rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)
print('원래 A\n', A)
print('\nrank A\n',rank_A)