[이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬] Ch.9 최단 경로

1. 가장 빠른 길 찾기

가장 빠르게 도달하는 방법

 - 최단경로(Shortest Path): 가장 짧은 경로 찾는 길 찾기 문제

 

 - 문제

• 보통 그래프 이용하여 표현 (지점 - 노드, 지점 간 연결된 도로 - 간선)
• 코테 : 최단 거리 출력 >> 최단 경로 출력

 - 최단 거리 알고리즘

• 최단 거리 = 그리디 + 다이나믹 프로그래밍
• 종류 : 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘

---

다익스트라 최단 경로 알고리즘

 - 다익스트라(Dijkstra) : 특정한 노드 출발 → 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구함

• 음의 간선(0보다 작은값)이 없을 때 정상적으로 동작
• 그리디 알고리즘으로 분류 (가장 비용이 적은 노드 선택하여 임의의 과정 반복)

 

- 원리

• 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드 선택
  → 선택된 노드는 '최단거리'가 완전히 선택된 노드, 알고리즘을 반복해도 최단 거리 줄어들지 않음
• 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해 

 

 

출처 : 이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬

  

 

 - 특징

• (최단 경로를 구하는 과정) '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장 → 계속 갱신
• 매번 현재 처리하고 있는 노드 기준으로 주변 간선 확인
• 그리디 알고리즘 : 방문하지 않은 노드 중 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드 확인 

 - 구현

  1) 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

  2) 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

---

방법1) 간단한 다익스트라 알고리즘

 

- 원리

•  1차원 리스트 선언 - 각 노드에 대한 최단 거리를 담음 
• 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해
  매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소 확인(순차 탐색)

   

- 코드

• 리스트 3개 - 각 노드가 연결되어 있는 노드 리스트, 방문 체크 리스트, 최단 거리 리스트
• 입력 - 모든 간선 정보 입력(노드1, 노드2, 비용)
• get_smallest_node() - 방문하지 않는 노드(vistited) 중, 가장 최단 거리(distance) 인덱스 반환
• dijkstra() - 시작 노드 : 방문 True, 시작 노드 그래프 정보 distance에 입력
              - 나머지 : 현재노드와 연결된 노드 확인, 현재 distance + 노드 가지고 있는 distance → 작은 값 업데이트

import sys
input = sys.stdin.readline()
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)   # 노드 번호 = 인덱스 -> 바로 리스트에 접근
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
  for i in range(1, n+1):
    if distance[i] < min_value and not visited[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index

def dijkstra(start):
  # 시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visited[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visited[now] = True
    # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
  # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance[i])

 

 - 시간 복잡도 : O(V**2) (V - 노드의 개수)
    → 노드 개수가 10,000개 넘어갈 때는 '개선된 다익스트라 알고리즘' 사용

---

방법2) 개선된 다익스트라 알고리즘

 - 사용하는 자료구조 : 힙(heap)

• 특정 노드까지의 최단거리 정보 힙에 담아서 처리 

 - 시간 복잡도: 최악의 경우 O(ElogV) (V : 노드의 개수,  E : 간선의 개수)     * p.250 다시 이해

 

힙(heap)

 - 힙(heap) : 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나.

 +) 스택, 큐, 우선순위 큐 비교

자료구조	추출되는 데이터
스택(Stack)	가장 나중에 삽입된 데이터
큐(Queue)	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐(Priority Queue)	가장 우선순위가 높은 데이터

 

 - 우선순위 큐 특징

• 값 표현 시 정수형 자료형 변수 사용 (첫번째 원소 기준으로 우선순위 설정)
• (in Python) PriorityQueue와 heapq 사용 → heapq가 더 빠르게 동작
• 구현 시, 최소 힙과 최대 힙 사용
  1) 최소 힙 - 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제
  2) 최대 힙 - 값이 큰 데이터가 먼저 삭제
• (in Python) 기본적으로 최소 힙 사용 → 다익스트라 최단 경로 알고리즘
  +)최대 힙 사용시, 우선순위 해당하는 값에 음수(-) 붙여서 넣었다가 음수(-) 부호 붙여서 돌려서 꺼냄

 

- 우선순위 큐 구현방식

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

 

 - 다익스트라 알고리즘 

• 우선순위 큐를 이용해서 시작노드 → '거리가 짧은 노드' 순서대로 큐에서 나옴
• 우선순위 큐를 이용한 예제

출처 : 이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬

 

 - 코드(heapq를 이용하는 방식)

• (방법1과 비교) get_smallest_node() 함수 작성할 필요 없음. 
  → '최단 거리가 가장 짧은 노드' 선택하는 과정을 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체

# 개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline()
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
  q = []
  # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
  heapq.heappush(q, (0,start))
  distance[start] = 0
  while q: # 큐가 비어있지 않다면
    # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
    dist, now = heapq.heappop(q)
    # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
    if distance[now] < dist:
      continue
    # 현재노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance[i])

---

플로이드 워셜 알고리즘

 - 플로이드 워셜 알고리즘(Floyd - Warshall Algorithm) : 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우

 

 - 핵심 아이디어

• 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행.
  → 현재 확인하고 있는 노드 제외, N - 1개의 노드 중에서 서로 다른 노드(A,B)쌍 선택(순열)
  예) 1번 노드 확인 시, 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우 고려
• 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요 없다
  → 노드의 개수가 N개일 때, N번의 단계 수행. 단계마다 O(N**2) 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려
  → 시간 복잡도 : O(N**3)
• 2차원 리스트 - '최단 거리' 정보 저장
• 다이나믹 프로그램 : 노드의 개수가 N일 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트 갱신
  
  

 

 - 예제

 

출처 : 이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬

 

 - 코드

• 리스트 - 2차원 INF 리스트 생성, 비용 삽입
• 플로이드 워셜 알고리즘 수행
• 이후 출력

INF = int(1e9)    # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
  for b in range(1, n+1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
  for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
  for b in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if graph[a][b] == INF:
      print("INFINITY", end = ' ')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(graph[a][b], end = ' ')
  print()

 

---

📌2. 미래 도시

✔️문제 

공중 미래 도시에 1번 ~ N번까지의 회사, 특정 회사는 도로를 통해 연결되어 있음.

특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일, 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동 가능. 도로로 연결되어 있으면, 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.

 

방문 판매원 A는 1번회사에서 출발 -> K번 회사 방문 -> X번 회사로 이동.

방문 판매원 A는 가능한 빠르게 이동하고자 한다.

방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램 작성하기.

 

✔️입력 조건

• 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= N,M <= 100)
• 둘째 줄부터 M+1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
• M+2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= K <= 100)

 

✔️출력 조건

• 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
• 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.

✔️입력 예시

4 2

1 3

2 4

3 4

 

✔️출력 예시

-1

 

✔️나의 문제 풀이

 - graph는 회사 개수 기준으로 설정

 - 연결된 회사 입력(경로의 개수) 받을 때는 경로의 개수 만큼

# 회사 개수, 경로 개수
n,m = map(int,input().split())
INF = int(1e9)

graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# a,b 연결된 두 회사의 번호 
for _ in range(m):
    a,b = map(int,input().split())
    graph[a][b], graph[b][a] = 1, 1

x,k = map(int,input().split())

for k in range(1,n+1):
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j])

if graph[1][k] + graph[k][x] < INF:
    print(graph[1][k] + graph[k][x])
else:
    print(-1)

 

✔️책의 문제풀이

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
  for b in range(1, n+1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
  a, b = map(int, input().split())
  graph[a][b] = 1
  graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
  for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= INF:
  print('-1')
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
  print(distance)

 

✔️리뷰

 - 플로이드 워셜 알고리즘인건 알기 쉬웠으나, 코드를 다 못외워서 참고 했던 부분 있음. 코드 암기하기

 - graph 값 INF 초기화 잊지말기 

---

📌3. 전보

✔️문제

N개의 도시가 존재. 각 도시는 보내고자 하는 메세지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메세지를 전송할 수 있다.

 

하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자하면, X-Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다.

X →Y의 통로는 있지만, Y → X로 가는 통로가 없으면 Y는 X로 메세지를 보낼 수 없다.

통로를 거쳐 메세지를 보낼 때 일정 시간이 소요된다.

 

도시 C에 위급상황이 발생하였다. 최대한 많은 도시로 메세지를 보내고자 한다.

도시 C를 출발하여 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다. 

도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메세지를 받게되는 도시의 개수와 메세지를 받는데 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램 작성하기.

 

✔️입력 조건

• 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메세지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.
  (1 <= N <= 30,000, 1 <= M <= 200,000, 1 <= C <= N)
• 둘째 줄부터 M+1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다. 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시 Y로 이어지는 통로가 있으며, 메세지가 전달되는 시간이 Z라는 의미이다.
  (1 <= X, Y <= N, 1 <= Z <= 1,000)

✔️출력 조건

첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메세지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.

 

✔️입력 예시

3 2 1

1 2 4

1 3 2

 

✔️출력 예시

2 4

 

✔️나의 문제풀이

 - 다익스트라 알고리즘은 그래프, 거리 따로 리스트에 저장

import heapq

INF = int(1e9)
# n - 도시의 개수, m - 통로의 개수, c - 메세지를 보내고자 하는 도시
n,m,c = map(int, input().split())
graph = [[] for _ in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)

# 통로에 대한 정보와 시간 입력
for k in range(m):
  x, y, z = map(int, input().split())
  graph[x].append((y,z))

def dijkstra(start):
  q = []
  global cnt
  cnt = 0
  heapq.heappush(q, (0,start))
  distance[start] = 0
  while q:
    dist, now = heapq.heappop(q)
    if distance[now] < dist:
      continue
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      cnt += 1
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(1,(cost,i[0]))

dijkstra(c)
print(cnt,distance[c])

import heapq
INF = int(1e9)

n,m,c = map(int,input().split())
graph = [[] for _ in range(n+1)]    # (다음 위치, 크기) 넣기
distance = [INF] * (n+1)    # 거리는 1차원 리스트, INF 값으로 넣기

for _ in range(m):
    x,y,z = map(int,input().split())
    graph[x].append((y,z))

q = []
ans = 0
heapq.heappush(q,(0,c)) # 힙에 넣을 때는 (크기, 위치)
distance[c] = 0

while q:
    dist, city = heapq.heappop(q)

    if distance[city] < dist:   # 힙에서 뽑은 거리가 원래보다 큼 -> 비교할 필요 없음
        continue 

    # 해당 도시의 (다음 위치, 크기) 완전탐색
    for i in graph[city]:
        if distance[i[0]] > dist + i[1]:    # 거리 + 크기
            distance[i[0]] = dist + i[1]
            heapq.heappush(q, (distance[i[0]], i[0]))
            ans += 1

print(ans, max(distance[1:]))

 

✔️책의 문제풀이

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  x, y, z = map(int, input().split())
  # x번 노드에서 y번 노드로 가는 비용이 z라는 의미
  graph[x].append((y,z))

def dijkstra(start):
  q = []
  # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하며, 큐에 삽입
  heapq.heappush(q, (0, start))
  distance[start] = 0
  while q:  # 큐가 비어있지 않다면
    # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
    dist, now = heapq.heappop(q)
    if distance[now] < dist:
      continue
    # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
  # 도달할 수 있는 노드인 경우
  if d != INF:
    count += 1
    max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

 

✔️나의 문제풀이와 책의 문제풀이 비교

 - 다익스트라는 캐치할 수 있었으나, 코드를 다 암기하지 못함 

 - 코드 암기 후 응용하기

 - 다시 이해하기